符合黄金比例的分形二叉树的图像

条件:在分形二叉树中,假设同一根的两个分支夹角为$\frac{2\pi}{3}$,这两个分支无限延伸,最终将会相交,且只有一个顶点。

计算:分支与根的长度之比为$\mu$。

分形二叉树中,同一根的两个分支的子分支关于此根分支对称。

因此,“同一根的两个分支无限延伸,最终将会相交,且只有一个顶点”等价于:一个根分支无限延伸,有一条支路趋近于根的延长线。如下图所示:

一路黄金比二叉树

转换为数学表达式为(设第一个分支的长度为单位一):

$$1 \times \sin{\frac{\pi}{3}} = \mu^2 \times \sin{\frac{\pi}{3}} + \mu^3 \times \sin{\frac{\pi}{3}} + \mu^4 \times \sin{\frac{\pi}{3}} + \cdots$$

等号两边去除公因式得:

$$1 = \mu^2 + \mu^3 + \mu^4 + \cdots$$

$\mu$为比例,因此$\mu>0$。

假设$\mu>=1$,则$\mu^2>=1$、$\mu^3>=1$,可得$\mu^2 + \mu^3 + \mu^4 + \cdots + \mu^\infty > 1$,无法满足等式。

所以$0<\mu<1$,化解:

\begin{equation}\begin{split} 1 &= \mu^2 + \mu^3 + \mu^4 + \cdots + \mu^\infty \&= \frac{(1-\mu)\cdot(\mu^2 + \mu^3 + \mu^4 + \cdots + \mu^\infty)}{1-\mu} \&= \frac{(\mu^2 + \mu^3 + \mu^4 + \cdots + \mu^\infty)-(\mu^3 + \mu^4 + \mu^5 + \cdots + \mu^\infty)}{1-\mu} \&= \frac{\mu^2}{1-\mu} \end{split}\end{equation}

得$\frac{\mu^2}{1-\mu} = 1, 0<\mu<1$,解得:

$$\mu=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

$\mu$正好等于黄金比例。